Различные способы задания функции Аналитический, графический, табличный – наиболее простые, а потому наиболее популярные способы задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. Аналитическийграфическийтабличный На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции и один из них – словесный, который используется в весьма своеобразных ситуациях.

Словесный способ задания функции Функция может быть задана и словесно, т. е. описательно. Например, так называемая функция Дирихле задается следующим образом: функция у равна 0 для всех рациональных и 1 для всех иррациональных значений аргумента х. Такая функция не может быть задана таблицей, так как она определяется на всей числовой оси и множество значений ее аргумента бесконечно. Графически данная функция также не может быть задана. Аналитическое выражение для этой функции было, все же найдено, но оно так сложно, что не имеет практического значения. Словесный же способ дает краткое и ясное ее определение.

Пример 1 Функция y = f (x) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х 0 ставится в соответствии первый знак после запятой в десятичной записи числа x. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой – цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если х = 2/3, то, записав 2/3 в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666…, находим f(x) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000…, и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще – то верно равенство 15 = 14,999…, но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).

Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное число значений первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. D (f) = . = 2 [" title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [" class="link_thumb"> 7 Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [" title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [">

Из всех указанных способов задания функции наибольшие возможности для применения аппарата математического анализа дает аналитический способ, а н нн наибольшей наглядностью обладает г гг графический. Вот почему математический анализ основывается на глубоком синтезе аналитических и геометрических методов. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций.

Х у=х

Великий математик - Дирихле В профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда (т.н. признак Дирихле, 1862), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике (принцип Дирихле в теории гармонической функции). Дирихле Петер Густав Лежён () Немецкий математик, иностранный чл.-корр. Петербургской АН (с), член Лондонского королевского общества (1855), Парижской АН (1854), Берлинской АН. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые и изучал (1837) закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввел функциональные ряды особого вида (т.н. ряды Дирихле).

Определение: Если каждому элементух множестваХ по какому-либо законуf (или по определенному правилуf ) ставится в соответствие единственный элементу из множестваУ , то говорят, что заданафункциональная зависимость у отх по законуy = f (x ) илифункция y = f (x ).

При этом х называетсянезависимой переменной (илиаргументом ),у – зависимой переменной (илизначением функции ). МножествоХ называетсяобластью определения (илиобластью существования ) функции и обозначаетсяD (f ) , множествоУ называетсяобластью значений функции и обозначаетсяЕ(f ).

Если множество Х не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменнойх , при котом формула имеет смысл. Например, для.

Задать функцию – значит, указать законf или правило, позволяющее, знаях .находить соответствующее значениеу .

Способы задания функции :

1. Аналитический – если функция задана с помощью формулы. Наиболее удобный способ для математического анализа, позволяющий исследовать функцию.

2. Табличный – если задана таблица значений функции, соответствующих определенным значением аргумента. Этот способ имеет широкое применение в экономике: экспериментальные измерения, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических данных и т.п.

3. Графический – если задан график. Этот способ обычно используется с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.). В экономике используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема ВВП, выручки, курсы валют, курса акций и т.п.

4. Словесный – если функция описывается правилом, составления, например, функция Дирихле:f (x )=1 , если x – рационально и f (x )=0 , если x - иррационально.

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция y = f (x ) называетсячетной , если х  D(f) выполняются условия:--х  D(f) иf(-х) =f(х); нечетной, если х  D(f) выполняются условия: х  D(f) иf(-х) = f(х).

При этом D(f) называетсясимметричной относительно О(0;0). График четной функции симметричен относительно Оу, а график нечетной – относительно О(0;0).

2. Монотонность

Функция называется возрастающей на промежуткеI  D(f) , есливыполняется условие:
инеубывающей , если
. Функция называетсяубывающей на промежуткеI  D(f) , есливыполняется условие:
иневозрастающей , если
.

Например,f убывает прих  (a;b) , не убывает прих  (b;с) и возрастает прих  (с; d )

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке I  D(f) называютсямонотонными на этом промежутке, а возрастающие и убывающие –строго монотонными .

3. Ограниченность

Функция называется ограниченной на множествеD(f) , если существует такое число М>0, что х  D(f) выполняется неравенство
. Или коротко:

Графики таких функций ограничены прямыми
. Например,у= sin x ограничена прямыми
.

4. Периодичность

Функция называется периодической на множествеD(f) , если существует такое числоT>0, что х  D(f) значение(х+Т)  D(f) иf (x + T )= f (x ) .

Число Т называется периодом функции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…

Например, функция у= sin x является периодической, т.к. x  D(f) sin (x +2 π )= sin x . Аналогично можно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… также являются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительным и называетсяосновным .

Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Наиболее часто используются следующие функции:

1.Функция полезности (функция предпочтений) – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2.Производственная функция зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4.Функция издержек (частный вид производственной функции) –зависимость издержек производства от объёма продукции.

5.Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Например, исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода можно установить уровни доходов
, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения
для групп товаров первой и второй необходимости. (см. рис.1)

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис.2)

Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), например, задаваемые в виде xy = U , и линию бюджетного ограничения
при ценах благ
и доходе потребителяI, мы можем установить оптимальные количества благ
, имеющих максимальную полезность(см. рис.3).

Предметы роскоши

Товары 2-ой необходимости

Товары 1-ой необходимости

рис.3 рис.4

Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q ) и дохода фирмы r (q ) , мы можем установить зависимость прибыли π(q )= c (q )- r (q ) от объёма производства q (см. рис.4) и выявить уровни объёма производства, при которых производство продукции убыточно (0< q < q) и приносит прибыль
, дает максимальный убыток (q = q ) и максимальную прибыль (q = q ) , и найти размеры этих убытков или прибыли.

(Определение: Пусть X и Y – числовые множества. Если каждому элементу x X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X определена функция y=f(x). x=D(f) – область значения; y= ; x=(- )=R; E(f)= =}