.
Лекция 6
4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.

Произведение двух квадратных матриц n -го порядка всегда определено. При этом важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:

Доказательство. Пусть

и
,

.

Составим вспомогательный определитель

.

По следствию теоремы Лапласа имеем:

.

Итак,
, покажем, что
. Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п
, прибавим к
-му столбцу. Затем первые п столбцов, умноженных соответственно на
, прибавим к
-му столбцу и т.д. На последнем шаге к
-му столбцу будут прибавлены первые п столбцов, умноженных соответственно на
. В результате получим определитель

.

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:

Итак, доказаны равенства и , из которых следует, что .
4.7.Обратная матрица

Определение 1 . Пусть дана квадратная матрица А п -го порядка. Квадратную матрицу
того же порядка называют обратной к матрице А , если , где Е -единичная матрица п -го порядка.

Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А , то такая матрица единственная.

Доказательство. Допустим, что матрица является не единственной матрицей, обратной к матрице А . Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

Рассмотрим произведение
. Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что
. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».

Определение 2 . Пусть дана матрица

элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А , называется присоединенной матрицей к матрице А .

Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Определение 3. Квадратная матрица А называется невырожденной , если
.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица определяется формулой

, (1)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы А .

Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители и
. Эти определители связаны соотношением
. Матрицы А и невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение

матрицы А С .

По правилу умножения матриц элемент произведения
матриц А и С имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j - й строки равна нулю при
и определителю при
. Следовательно,

где Е – единичная матрица п -го порядка. Аналогично доказывается равенство
. Таким образом,
, а это означает, что
и матрица
является обратной к матрице А . Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).

Следствие 1 . Определители матриц А и связаны соотношением .

Следствие 2 . Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается

равенствами
.

Следствие 3 . Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы

С связаны равенством
.

Следствие 3 вытекает из равенства
и свойства определителей, согласно которому при умножении на п- ю степень этого числа. В данном случае

откуда следует, что .

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице А :

.

Решение. Определитель матрицы

отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:

,
,
,

,
,
,

,
.

Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу

.
4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.

Определение 1. Под элементарными преобразованиями над матрицей размера

понимают следующие действия.

1. 
   Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.
2. 
   Прибавление к любой i -й строке матрицы любой ее j - й строки, умноженной на произвольное число.
3. 
   Прибавление к любому i -му столбцу матрицы любого ее j - го столбца, умноженного на произвольное число.
4. 
   Перестановка строк (столбцов) матрицы.

Определение 2. Матрицы А и В будем называть эквивалентными , если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать
.

Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами :


Определение 3 . Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:

1) если i -я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то
-я строка также нулевая;

2) если первые ненулевые элементы i -й и -й строк располагаются в столбцах с номерами k и l , то
.

Пример. Матрицы

и

являются ступенчатыми, а матрица

ступенчатой не является.

Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса . Рассмотрим матрицу А размера . Без ограничения общности можем считать, что
. (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на
, к третьей строке – первую, умноженную на
и т.д.

В результате получим, что

.

Элементы в последних
строках определяются формулами:

,
,
.

Рассмотрим матрицу

.

Если все элементы матрицы равны нулю, то

и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что
(этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А , получим

соответственно,

.

Здесь
,
,
.

причем , , … ,
. В матрице А т строк и чтобы привести ее к А r , отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом
.

Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров .


Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

.

Решение.


Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого

количества определителей.

Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.

Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований . Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц:

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если.

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается.

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

Тогда любой элемент произведения (или), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

*=. Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Определитель матрицы – это число, характеризующее квадратную матрицу А и тесно связанное с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается или . Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону вычисленное некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Рассмотрим определители второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

,

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить определитель матрицы А:

Ответ: -10.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Пример. Вычислить определитель матрицы В

.

Ответ: 83.

Вычисление определителя n-го порядка производится на основании свойств определителя и следующей теоремы Лапласа: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

Алгебраическое дополнение элемента равно , где - минор элемента , получаемый путем вычеркивания в определителе i-ой строки и j-го столбца.

Минором порядка элемента матрицы А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример . Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

.

Ответ: .

Пример . Вычислить определитель матрицы треугольной матрицы:

Ответ: -15.

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменится.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведения элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Обратная матрица.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая квадратная матрица называется невырожденной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Первый алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель не равен нулю, то исходная матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле: .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из ее определения .

Пример.

.

Ответ: .

Второй алгоритм вычисления обратной матрицы:

Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований над строками матрицы:

Перемена местами двух строк;

Умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;

Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.

Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу , затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу .

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

.

Составляем матрицу В вида:

.

Элемент = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате этих преобразований получим:

.

Окончательно получим

.

Откуда .

Ранг матрицы. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang(A) или r(A).

Из определения следует: а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А) меньше или равен минимальному из чисел m или n; б) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны нулю; в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Пример : вычислить ранги матриц:

.

Ответ: r(A)=1. Ответ: r(A)=2.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Примеры : Вычислить матрицу , где

; ;

Ответ: .

Пример : Вычислить матрицу , где

; ; ; E – единичная матрица.

Ответ: .

Пример : Вычислить определитель матрицы

.

Ответ : 160.

Пример : Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить ее:

.

Ответ : .

Пример : Найти ранг матрицы

.

Ответ : 2.

2.4.2. Системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

,

где , - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Решением системы уравнений называется такая совокупность n чисел (), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Теорема Крамера: Пусть - определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при переменных “х”, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца этой матрицы столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: (j=1, 2, …, n). Эти уравнения получили названия формул Крамера.

Пример. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

Ответы : (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные.

Пример : Решить системы уравнений методом Гаусса.

Ответы : (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения:

· если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система уравнений имеет единственное решение;

· если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r

2.4.3. Технология выполнения операций над матрицами в среде EXCEL.

Рассмотрим некоторые аспекты работы с табличным процессором Excel, которые позволяют упростить расчеты, необходимые для решения оптимизационных задач. Табличный процессор – это программный продукт, предназначенный для автоматизации обработки данных табличной формы.

Работа с формулами. В программах электронных таблиц формулы служат для выполнения множества разнообразных расчетов. С помощью Excel можно быстро создать формулу. Формула состоит из трех основных частей:

Знак равенства;

Операторы.

Использование в формулах функций . Чтобы облегчить ввод формул, можно воспользоваться функциями Excel. Функции – это встроенные в Excel формулы. Для активизации той или иной формулы следует нажать кнопки Вставка , Функции. В появившемся окне Мастер функций слева содержится перечень типов функций. После выбора типа справа будет помещен список самих функций. Выбор функций осуществляется щелчком клавиши мыши на соответствующем названии.

При выполнении операций над матрицами, решении систем линейных уравнений, решении оптимизационных задач можно применять следующие функции Excel:

МУМНОЖ - умножение матриц;

ТРАНСП - транспонирование матрицы;

МОПРЕД - вычисление определителя матрицы;

МОБР - вычисление обратной матрицы.

Кнопка находится на панели инструментов. Функции для выполнения операций с матрицами находятся в категории Математические .

Умножение матриц с помощью функции МУМНОЖ . Функция МУМНОЖ возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах 1 и 2). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2.

Пример. Найти произведение двух матриц А и В в среде Excel (см. рис 2.9):

; .

Введите матрицы А в ячейки А2:C3 и В в ячейки E2:F4.

Выделите диапазон ячеек для результата умножения – H2:I2.

Введите формулу умножения матриц =МУМНОЖ(A2:C3, E2:F4).

Нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Вычисления обратной матрицы с помощью функции МОБР .

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Синтаксис: МОБР(массив). На рис. 2.10 приведено решение примера в среде Excel.

Пример. Найти матрицу, обратную к данной:

.

Рисунок 2.9. Исходные данные для умножения матриц.

5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.

9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.

10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.

21. Решение совместной системы линейных уравнений.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.

24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.

25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.

26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.

28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.

30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.

33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления(без доказательства).

34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности(неизменности) порядка.

35. Общие уравнения плоскости и прямой.

36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости(в пространстве), канонические уравнения прямой.

39. Векторные уравнения прямой и плоскости.

40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.

42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

47.Определение линейного пространства. Примеры.

49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.

50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

Теорема:

Доказательство: Пусть заданы квадратные матрицы порядка n.
и
. На основании теоремы об определителе квазитреугольной матрицы (
) имеем:
порядок данной матрицы 2n. Не изменяя определителя, над матрицей порядка 2n выполним последовательно следующие преобразования: к первой строке прибавим . В результате такого преобразования на первыхn позициях первой строки будут все 0, а на вторых(во втором блоке) – будет стоять сумма произведений первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В. Проделав те же самые преобразования с 2 … n строками получим следующее равенство:

Чтобы привести правый определитель к квазитреугольному виду поменяем в нем местами 1 и 1+ n столбцы, 2 и 2+ n … n и 2 n столбцы. В результате получим равенство:

Замечание: Ясно что теорема справедлива для любого конечного числа матриц. В частности
.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

Определение: Если
матрица называется не невырожденной (неособенной). Если
то матрица называется вырожденной (особенной).

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу А. Из алгебраических дополнений элементов этой матрицы составим матрицу и транспонируем её. Получим матрицу С:
матрица С называется присоединенной по отношению к матрице А. Вычислив произведение А*С и В*С получим
Следовательно
, таким образом
если
.

Таким образом из неособенности матрицы А следует существование А -1 . С другой стороны если А имеет А -1 то матричное уравнение АХ=Е разрешимо. Следовательно
и. Объединяя полученные результаты получим утверждение:

Теорема: У квадратной матрицы над полем Р существует обратная тогда и только тогда когда она не особенная. Если обратная матрица существует то она находится по формуле:
, где С присоединенная матрица.

Замечание:

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

Определение: Миноромk-того порядка матрицы А называется определительk-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любыхkстрок и любыхkстолбцов.

Определение: Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличный от 0 миноров этой матрицы. Обозначаетсяr(A). Ясно 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

Определение: Всякий отличный от 0 минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором этой матрицы. Ясно что матрица может иметь несколько базовых миноров. Столбцы и строки которые образуют базовые миноры называются базисными.

Теорема: В производной матрице А=(а i) m , n каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов в которых расположен базисный минор(то же самое о строках).

Доказательство: Пусть r(A)=r. Выберем из матрицы один базисный минор. Для простоты предположим, что базовый минор расположен в левом верхнем углу матрицы, т.е. на первых r строках и первых r столбцах. Тогда базовый минор Mr будет иметь вид:
. Нам нужно доказать что всякий столбец матрицы А является линейной комбинацией первыхr столбцов этой матрицы, в которых расположен базисный минор, т.е. надо доказать что существуют числа λ j такие, что для любого k-того столбца матрицы А имеет место равенство: где
…
.

Припишем к базисному минору какие-нибудь k-тый столбец и s-тую строку:
т.к. если добавленная строка или

столбец входят в число базисных то определитель
, как определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами). Если добавлена строка(столбец) то
согласно определению ранга матрицы. Разложим определитель
по элементам нижней строки, получим:отсюда получаем:
где λ 1 … λ r не зависят от номера S, т.к. А Sj не зависят от элементов добавленной S-той строки. Равенство (1) и есть нужное нам равенство.(ч.т.д.)

Следствие: Если А квадратная матрица, а определительA=0 ,то один из столбцов матрицы есть линейная комбинация оставшихся столбцов, а так же одна из строк является линейная комбинация оставшихся строк.

Доказательство: Если определитель матрицыA=0, то ранг этой матрицы <=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

Для того чтобы [A] =0 необходимо и достаточно чтобы по крайней мере одна строка (столбец) являлись линейной комбинацией остальных её строк (столбцов).

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .

Из этого определения следует формула элемента матрицы C :

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:

.

A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB .

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".

Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Свойства произведения двух матриц

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :