Инструкционная карта № 20

Тақырыбы/ Тема : « Вторая производная и ее физический смысл ».

Мақсаты/ Цель:

Уметь находить уравнение касательной, а также тангенс угла наклона касательной к оси ОХ. Уметь находить скорость изменения функции, а также ускорение.

Создать условие для формирования умений сравнить, классифицировать изученные факты и понятия.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении уравнения касательной, а также при нахождении скорости изменения функции и ускорения.

Теоретический материал:

(Геометрический смысл поизводной)

Уравнение касательной к графику функции таково:

Пример 1: Найдём уравнение касательной к графику функции в точке с обсцистсой 2.

Ответ: у = 4х-7

Угловой коэффициент k касательной к графику функции в точке с абсциссой х о равен f / (x o) (k= f / (x o)). Угол наклона касательной к графику функции в заданной точке равен

arctg k = arctg f / (x o), т.е. k= f / (x o)= tg

Пример 2: Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°. Ответ: =60 0 .

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной ) и обозначают символом .

Пример 3: Найти вторую производную функции: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

В начале найдем первую производную данной функции f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Затем, находим вторую производную от полученной первой производной

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Ответ: f""x) = 6x-8.

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Скорость материального тела равна первой производной от пути, то есть:

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Пример 4: Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с. (Путь измеряется в метрах, время в секундах).
Решение
v (t ) = s΄ (t ) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t ) = v΄ (t ) =(2+2t)’= 2 (м/с 2)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

Как вы считаете физический смысл производной – это мгновенная скорость или средняя скорость?

Какая существует связь между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производной?

Какое можно дать определение касательной к графику функции в точке М(х 0 ;f(х 0))?

Каков механический смысл второй производной?

Функция является сложной, если она может быть представлена в виде функции от функции у = f[φ(х)], где у =f(u), аu=φ(х), гдеuпромежуточный аргумент. Любую сложную функцию можно представить в виде элементарных функций (простых), которые являются ее промежуточными аргументами.

Примеры:

Простые функции: Сложные функции:

у= х 2 у = (х+1) 2 ;u= (х+1); у=u 2 ;

у = sinx; у =sin2x;u= 2х; у =sinu;

у = е х у = е 2х;u= 2х; у = е u ;

у = lnх у =ln(х+2);u= х+2; у =lnu.

Общее правило дифференцирования сложной функции дается приведённой теоремой без доказательства.

Если функция u=φ(х) имеет производнуюu" x =φ"(х) в точке х, а функция у =f(u) производную у" u =f" (u) в соответствующей точкеu, то производная сложной функции у =f[φ(х)] в точке х находится по формуле: у" х =f" (u) ·u"(х).

Часто используется менее точная, но более короткая формулировка данной теоремы: производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной .

Пример: у =sin2x 2 ; u= 2х 2 ; у =sinu;

у" х = (sinu)" u · (2x 2)" х =cosu · 4х = 4х ·cos2х 2 .

3. Производная второго порядка. Механический смысл второй производной.

Производную функции у =f(х) называют производной первого порядка или просто первой производной функции. Эта производная является функцией от х и её можно дифференцировать вторично. Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной. Она обозначается: у" хх – (игрек два штриха по икс);f"(х) – (эф два штрих по икс);d 2 у/dх 2 – (дэ два игрек по дэ икс дважды);d 2 f/dх 2 – (дэ два эф по дэ икс дважды).

Исходя из определения второй производной, можно записать:

у" хх = (у" х)" х;f"(х) = " x d 2 у/dх 2 =d/dх (dу/dх).

Вторая производная в свою очередь есть функция от х и ее можно дифференцировать и получить производную третьего порядка и т.д.

Пример: у = 2х 3 +х 2 ; у" хх = [(2х 3 +х 2)" x ]" x = (6х 2 +2х)" x = 12х+2;

Механический смысл второй производной объясняется на основе мгновенного ускорения, которым характеризуют переменное движение.

Если S=f(t) – уравнение движения, то=S" t ;а ср. =;

а мгн. =
а ср =
=" t ;а мгн. = " t = (S" t)" t = S" tt .

Таким образом, вторая производная от пути по времени равна мгновенному ускорению переменного движения. В этом и заключается физический (механический) смысл 2-ой производной.

Пример: Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по законуS=t 3 /3. Ускорение материальной точки будет определяться как вторая производная S" tt:а = S" tt = (t 3 /3)" = 2t.

4. Дифференциал функции.

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции, которое имеет важное практическое применение.

Функция f(х ) имеет производную
= f" (х);

Согласно теореме (теорему не рассматриваем) о связи бесконечно малой величины α(∆х)(
α(∆х)=0) с производной:= f" (х)+ α (∆х), откуда ∆f = f" (х) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Из последнего равенства следует, что приращение функции состоит из суммы, каждое слагаемое которой есть бесконечно малая величина при ∆х→ 0.

Определим порядок малости каждой бесконечно малой величины этой суммы по отношению к бесконечно малой ∆х:

Следовательно, бесконечно малые f (х) ∆х и ∆х имеют одинаковый порядок малости.

Следовательно, бесконечно малая величина α(∆х)∆х имеет более высокий порядок малости по отношению к бесконечно малой величине ∆х. Это означает, что в выражениях для ∆f второе слагаемое α(∆х)∆х быстрее стремится к 0 при ∆х→0, чем первое слагаемое f" (х)∆х.

Это первое слагаемое f" (х)∆х называют дифференциалом функции в точке х. Он обозначается dy(дэ игрек) илиdf(дэ эф). Итак,dy=df= f" (х)∆х илиdy= f" (х)dх, т.к. дифференциалdх аргумента равен его приращению ∆х (если в формулеdf= f" (х)dх принять, что f(х)=х, то получимdf=dx=x" х ∆x, ноx" х =1, т.е.dx=∆х). Итак, дифференциал функции равен произведению этой функции на дифференциал аргумента.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции – есть главная часть приращения функции ∆f, линейная относительно аргумента ∆х. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую величину α(∆х)∆х более высокого порядка малости, чем ∆х. Действительно ∆f=f" (х)∆х+α(∆х)∆х или ∆f=df+α(∆х)∆х; откудаdf= ∆f- α(∆х)∆х.

Пример: у = 2х 3 +х 2 ;dу =?dу = у"dх = (2х 3 +х 2)" x dx= (6х 2 +2х)dx.

Пренебрегая бесконечно малой величиной α(∆х)∆х более высокого порядка малости, чем ∆х , получим df≈ ∆f≈ f" (х)dх т.е. дифференциал функции может быть использован для приближенного вычисления приращения функции, так как дифференциал обычно вычислять проще. Дифференциал может быть применен и к приближенному вычислению значения функции. Пусть нам известна функцияy= f(х) и ее производная в точке х. Необходимо найти значение функцииf(х+∆х) в некоторой близкой точке (х+∆х). Для этого воспользуемся приближенным равенством ∆у ≈dyили ∆у ≈f" (х) · ∆х. Учитывая, что ∆у=f(х+∆х)-f(х), получимf(х+∆х)-f (х) ≈f" (х) ·dх, откудаf(х+∆х) = f(х)+f" (х) ·dх. Полученная формула решает поставленную задачу.

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + )  f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :

y = f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + )  x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a =  . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).

8.Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону $ x(t) $, где $ t $ задаёт время. Тогда за время от $ t_0 $ до $ t_0 + \Delta t $ точка проходит путь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: $$ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Если устремить $ \Delta t $ к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке $ t_0 $:

$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = v(t_0) $$

По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки:

$$ v(t_0) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x"(t_0) $$

Примеры решений

Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

Производная второго порядка и её механический смысл

Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240):

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .

Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M (x; y) при данных значениях x и?x.

Вычисление дифференциала - .

Применение дифференциала в приближённых вычислениях - , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции

1. Вычисляют производную данной функции.

2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале возрастает; если же, то на таком интервале убывает.

В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки.

Если - точка максимума (минимума) функции, то говорят, что (минимум) в точке. Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .

Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции.

Основные моменты исследования производной:

1. Находят производную.

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.